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Matthias Grief
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<p>Brüche werden verwendet, um Anteile an einem Ganzen darzustellen. So kann es vorkommen, dass nur ein Teil einer Pizza gegessen wird oder nur ein Teil einer Flasche getrunken wird. In der Mathematik wird ein solcher Anteil durch einen Bruch dargestellt. In der folgenden Grafik wird gezeigt, wie 3 von 7 Kästchen gelb markiert werden, und wie der entsprechende Bruch dargestellt wird.</p><p></p><p>Ein Bruch setzt sich aus einem Zähler, einem Bruchstrich und einem Nenner zusammen. Der Zähler wird über dem Bruchstrich geschrieben, der Nenner darunter.</p><p><span>$$\begin{array}{cl} 3 & \text{Zahler} \\ - & \text{Bruchstrich} \\ 7 & \text{Nenner} \\ \end{array}$$</span></p><p><strong>Brüche addieren und subtrahieren</strong></p><p></p><p>Brüche mit gleichen Nennern (= gleichnamige Brüche) werden addiert, indem die Zähler addiert und der Nenner beibehalten wird. So werden aus 2 von 6 Stücken plus 3 von 6 Stücken insgesamt 5 von 6 Stücken.</p><p></p><p><span>$$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$</span></p><p></p><p>Zur Subtraktion gleichnamiger Brüche werden die Zähler subtrahiert und der Nenner beibehalten. Wenn von 5 von 6 Stücken 3 von 6 Stücke weggenommen werden, bleiben 2 der 6 Stücke übrig.</p><p></p><p><span>$$\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6}$$</span></p><p></p><p><strong>Brüche multiplizieren und dividieren</strong></p><p></p><p>Brüche werden multipliziert, indem die Zähler und Nenner jeweils miteinander multipliziert werden: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beim Bruchrechnen mit der Grundrechenart Multiplikation spielt es keine Rolle, ob die Nenner gleich oder verschieden sind.</p><p></p><p><span>$$\frac{2}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{10}{81}$$</span></p><p></p><p>Bei der Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern (= ungleichnamige Brüche) werden ebenfalls die Zähler und Nenner jeweils miteinander multipliziert. Im Gegensatz zur Addition müssen die Brüche dabei nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.</p><p></p><p><span>$$\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$$</span></p><p></p><p>Die Division von Brüchen basiert auf der Multiplikation von Brüchen. Um zwei Brüche zu dividieren, wird aus der Division eine Multiplikation gemacht. Das Geteiltzeichen wird durch ein Malzeichen ersetzt. Dafür wird beim zweiten Bruch der Zähler und der Nenner vertauscht.</p><p></p><p><span>$$\frac{5}{8} : \frac{4}{7} = \frac{5}{8} \cdot \frac{7}{4} = \frac{35}{32}$$</span></p>
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<p>Brüche werden verwendet, um Anteile an einem Ganzen darzustellen. So kann es vorkommen, dass nur ein Teil einer Pizza gegessen wird oder nur ein Teil einer Flasche getrunken wird. In der Mathematik wird ein solcher Anteil durch einen Bruch dargestellt. In der folgenden Grafik wird gezeigt, wie 3 von 7 Kästchen gelb markiert werden, und wie der entsprechende Bruch dargestellt wird.<br><p>Ein Bruch setzt sich aus einem Zähler, einem Bruchstrich und einem Nenner zusammen. Der Zähler wird über dem Bruchstrich geschrieben, der Nenner darunter.</p><p><span>$$\begin{array}{cl} 3 & \text{Zahler} \\ - & \text{Bruchstrich} \\ 7 & \text{Nenner} \\ \end{array}$$</span></p><p><strong>Brüche addieren und subtrahieren</strong></p><br><p>Brüche mit gleichen Nennern (= gleichnamige Brüche) werden addiert, indem die Zähler addiert und der Nenner beibehalten wird. So werden aus 2 von 6 Stücken plus 3 von 6 Stücken insgesamt 5 von 6 Stücken.</p><br><p><span>$$\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$</span></p><br><p>Zur Subtraktion gleichnamiger Brüche werden die Zähler subtrahiert und der Nenner beibehalten. Wenn von 5 von 6 Stücken 3 von 6 Stücke weggenommen werden, bleiben 2 der 6 Stücke übrig.</p><br><p><span>$$\frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6}$$</span></p><br><p><strong>Brüche multiplizieren und dividieren</strong></p><br><p>Brüche werden multipliziert, indem die Zähler und Nenner jeweils miteinander multipliziert werden: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beim Bruchrechnen mit der Grundrechenart Multiplikation spielt es keine Rolle, ob die Nenner gleich oder verschieden sind.</p><br><p><span>$$\frac{2}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{10}{81}$$</span></p><br><p>Bei der Multiplikation von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern (= ungleichnamige Brüche) werden ebenfalls die Zähler und Nenner jeweils miteinander multipliziert. Im Gegensatz zur Addition müssen die Brüche dabei nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.</p><br><p><span>$$\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$$</span></p><br><p>Die Division von Brüchen basiert auf der Multiplikation von Brüchen. Um zwei Brüche zu dividieren, wird aus der Division eine Multiplikation gemacht. Das Geteiltzeichen wird durch ein Malzeichen ersetzt. Dafür wird beim zweiten Bruch der Zähler und der Nenner vertauscht.</p><br><p><span>$$\frac{5}{8} : \frac{4}{7} = \frac{5}{8} \cdot \frac{7}{4} = \frac{35}{32}$$</span></p></p>
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<p>Diese Regel besagt, dass zuerst Multiplikationen und Divisionen und danach Additionen oder Subtraktionen durchgeführt werden. Anhand eines Beispiels wird nun gezeigt, wie diese Regel angewendet wird (und wie Fehler dabei passieren können). </p><br><p>a) 5 + 2 · 4 = 5 + 8 = 13 (richtige Lösung) </p><p>b) 5 + 2 · 4 = 7 · 4 = 28 (falsche Lösung) </p><p> </p><p><strong>Erklärung: </strong></p><p>In beiden Fällen wird das Ergebnis der Aufgabe 5 + 2 · 4 gesucht. Im Fall a) wurde die Aufgabe richtig gelöst, indem zuerst die Multiplikation berechnet wurde. Das ergibt 2 · 4 = 8. Anschließend wurde 5 + 8 = 13 gerechnet. Wie zu sehen ist, wurde erst die Multiplikation ausgeführt, bevor die beiden Zahlen addiert wurden. Im Fall b) wurde jedoch ein Fehler gemacht, da hier erst addiert und dann multipliziert wurde. Das Ergebnis wurde dadurch falsch berechnet </p><br><p><strong>Noch eine kleine Anmerkung:</strong> </p><p>Links des "=" muss immer dasselbe stehen wie rechts des "=". Wenn so gerechnet wird, wie es in den Beispielen gezeigt wird, passiert das automatisch. Dies wird hier erwähnt, weil es in einem späteren Kapitel – in den sogenannten Gleichungen mit Unbekannten – noch genauer besprochen wird. Zu diesem Zeitpunkt sollte jedoch einfach versucht werden, den Beispielen zu folgen und das Konzept in den Übungsaufgaben selbst anzuwenden. </p><br><p>Das vorherige Beispiel sollte noch einmal durchgegangen werden. Anschließend folgen eine Reihe weiterer Beispiele. Jedes sollte genau angesehen werden, um die Berechnung zu verfolgen. </p><br><p>Auch hier gilt: Zuerst Multiplikation oder Division, danach Addition oder Subtraktion. </p><br><p>Aufgabe: 8 · 3 + 2 = ? </p><p>Lösung: 8 · 3 + 2 = 24 + 2 = 26 </p><p> </p><p>Aufgabe: 2 + 3 · 4 = ? </p><p>Lösung: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 </p><p> </p><p>Aufgabe: 6 : 3 + 2 = ? </p><p>Lösung: 6 : 3 + 2 = 2 + 2 = 4 </p><p> </p><p>Aufgabe: 5 - 8 : 4 = ? </p><p>Lösung: 5 - 8 : 4 = 5 - 2 = 3 </p><p> </p><p>Aufgabe: 5 · 3 + 8 : 4 = ? </p><p>Lösung: 5 · 3 + 8 : 4 = 15 + 2 = 17 </p><p> </p><p><strong>Erläuterungen:</strong> </p><p>In den ersten vier Beispielen wurde konsequent die Punkt-vor-Strich-Regel beachtet. Es wurde zuerst multipliziert oder dividiert und danach addiert oder subtrahiert. Beim letzten Beispiel mussten sowohl eine Multiplikation als auch eine Division durchgeführt werden. Es spielt dabei keine Rolle, in welcher Reihenfolge diese beiden Operationen ausgeführt werden – wichtig ist nur, dass die Addition aufgrund der Punkt-vor-Strich-Regel am Ende berechnet wird. Das bedeutet also, dass erst 5 · 3 sowie 8 : 4 berechnet werden müssen und danach die beiden Ergebnisse addiert werden.</p>
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<p>Diese Regel besagt, dass zuerst Multiplikationen und Divisionen und danach Additionen oder Subtraktionen durchgeführt werden. Anhand eines Beispiels wird nun gezeigt, wie diese Regel angewendet wird (und wie Fehler dabei passieren können).<br><p>a) 5 + 2 · 4 = 5 + 8 = 13 (richtige Lösung)</p><p>b) 5 + 2 · 4 = 7 · 4 = 28 (falsche Lösung)</p><br><p><strong>Erklärung: </strong></p><p>In beiden Fällen wird das Ergebnis der Aufgabe 5 + 2 · 4 gesucht. Im Fall a) wurde die Aufgabe richtig gelöst, indem zuerst die Multiplikation berechnet wurde. Das ergibt 2 · 4 = 8. Anschließend wurde 5 + 8 = 13 gerechnet. Wie zu sehen ist, wurde erst die Multiplikation ausgeführt, bevor die beiden Zahlen addiert wurden. Im Fall b) wurde jedoch ein Fehler gemacht, da hier erst addiert und dann multipliziert wurde. Das Ergebnis wurde dadurch falsch berechnet</p><br><p><strong>Noch eine kleine Anmerkung:</strong></p><p>Links des "=" muss immer dasselbe stehen wie rechts des "=". Wenn so gerechnet wird, wie es in den Beispielen gezeigt wird, passiert das automatisch. Dies wird hier erwähnt, weil es in einem späteren Kapitel – in den sogenannten Gleichungen mit Unbekannten – noch genauer besprochen wird. Zu diesem Zeitpunkt sollte jedoch einfach versucht werden, den Beispielen zu folgen und das Konzept in den Übungsaufgaben selbst anzuwenden.</p><br><p>Das vorherige Beispiel sollte noch einmal durchgegangen werden. Anschließend folgen eine Reihe weiterer Beispiele. Jedes sollte genau angesehen werden, um die Berechnung zu verfolgen.</p><br><p>Auch hier gilt: Zuerst Multiplikation oder Division, danach Addition oder Subtraktion.</p><br><p>Aufgabe: 8 · 3 + 2 = ?</p><p>Lösung: 8 · 3 + 2 = 24 + 2 = 26</p><br><p>Aufgabe: 2 + 3 · 4 = ?</p><p>Lösung: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14</p><br><p>Aufgabe: 6 : 3 + 2 = ?</p><p>Lösung: 6 : 3 + 2 = 2 + 2 = 4</p><br><p>Aufgabe: 5 - 8 : 4 = ?</p><p>Lösung: 5 - 8 : 4 = 5 - 2 = 3</p><br><p>Aufgabe: 5 · 3 + 8 : 4 = ?</p><p>Lösung: 5 · 3 + 8 : 4 = 15 + 2 = 17</p><br><p><strong>Erläuterungen:</strong></p><p>In den ersten vier Beispielen wurde konsequent die Punkt-vor-Strich-Regel beachtet. Es wurde zuerst multipliziert oder dividiert und danach addiert oder subtrahiert. Beim letzten Beispiel mussten sowohl eine Multiplikation als auch eine Division durchgeführt werden. Es spielt dabei keine Rolle, in welcher Reihenfolge diese beiden Operationen ausgeführt werden – wichtig ist nur, dass die Addition aufgrund der Punkt-vor-Strich-Regel am Ende berechnet wird. Das bedeutet also, dass erst 5 · 3 sowie 8 : 4 berechnet werden müssen und danach die beiden Ergebnisse addiert werden.</p></p>
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<p>Wie wird es gemacht, wenn bei einer Aufgabe zunächst eine Addition ausgeführt werden soll und danach eine Multiplikation? Die Antwort lautet: Es wird eine Klammer gesetzt. Die mathematische Regel lautet dann ganz einfach "Eine Klammer wird zuerst berechnet". Um bei den ganzen Klammern, Punkt vor Strich usw. nicht durcheinander zu kommen, folgt hier noch einmal ein kurzer Leitfaden: </p><br><p> 1. Wenn eine Klammer in der Aufgabe vorhanden ist, wird diese zuerst berechnet </p><p> 2. Danach werden Multiplikation und Division ausgeführt </p><p> 3. Als letztes folgen Addition und Subtraktion </p><p> </p><p> Der Leitfaden von oben sollte gemerkt werden, um dann die folgenden Beispiele zu verstehen: </p><br><p> Aufgabe: (2 + 3) · 5 = ? </p><p> Lösung: (2 + 3) · 5 = 5 · 5 = 25 </p><br><p> Aufgabe: 8 · (3 + 4) = ? </p><p> Lösung: 8 · (3 + 4) = 8 · 7 = 56 </p><br><p> Aufgabe: 2 · (1 + 2) + 5 = ? </p><p> Lösung: 2 · (1 + 2) + 5 = 2 · 3 + 5 = 6 + 5 = 11 </p><br><p> Aufgabe: 3 · (8 + 2) : 10 + 1 = ? </p><p> Lösung: 3 · (8 + 2) : 10 + 1 = 3 · 10 : 10 + 1 = 30 : 10 + 1 = 3 + 1 = 4 </p><br><p> <strong>Erklärungen: </strong> </p><p> Gerade die beiden letzten Aufgaben könnten abschreckend wirken. Es wird jedoch mit den ersten beiden Aufgaben begonnen: In beiden Fällen wurde zunächst die Klammer berechnet. Das Ergebnis wurde dann mit der dahinter oder davor stehenden Zahl multipliziert. Bei der dritten Aufgabe wurde zuerst die Klammer berechnet, dann die Multiplikation und schließlich die Addition ausgeführt. </p><br><p> Kommen wir zur letzten Aufgabe: Auch hier wurde zunächst die Klammer berechnet. Mit dem Ergebnis der Klammer konnte dann entweder als erstes multipliziert oder dividiert werden, das ist mathematisch gleichgültig. In meinem Rechenweg wurde zunächst multipliziert, dann dividiert, und schließlich addiert. Die Aufgabe sollte noch einmal Stück für Stück durchgegangen werden, um Klarheit zu erhalten. </p><br><p> <strong>Priorität bei Klammern / mehrere Klammern</strong> </p><p> Eine kleine Schwierigkeit muss zu guter Letzt noch angesprochen werden: Was passiert bei mehreren Klammern und verschachtelten Klammern? Dazu folgen zunächst zwei kleine Beispiele samt Lösungen, danach die Erklärung. </p><br><p> Aufgabe: (5 + 3) + (1 + 2) = ? </p><p> Lösung: (5 + 3) + (1 + 2) = 8 + 3 = 11 </p><br><p> Aufgabe: ((3 + 4) + 2) + 1 = ? </p><p> Lösung: [( 3 + 4 ) + 2 ] + 1 = (7 + 2) + 1 = 10 </p><br><p> <strong>Erklärung: </strong> </p><p> Im ersten Beispiel gibt es zwei Klammern. Welche davon zuerst berechnet wird, ist vollkommen egal. Beide Klammern werden einzeln ausgerechnet und die Ergebnisse anschließend addiert. Kommen wir zum zweiten Beispiel: Hier gibt es zwei ineinander verschachtelte Klammern. Die Rechenregel dabei lautet ganz einfach: Immer zuerst die innere Klammer berechnen. </p><br><p> Zur besseren Übersicht bei verschachtelten Klammern sehen diese meist etwas unterschiedlich aus: Die innere Klammer wird üblicherweise mit "(" und ")" gekennzeichnet, während die äußere Klammer mit "[" und "]" versehen wird. Natürlich gilt wie immer: Um die Rechenregeln wirklich zu beherrschen, sollten die Übungsaufgaben bearbeitet werden. </p><br>
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<p>Wie wird es gemacht, wenn bei einer Aufgabe zunächst eine Addition ausgeführt werden soll und danach eine Multiplikation? Die Antwort lautet: Es wird eine Klammer gesetzt. Die mathematische Regel lautet dann ganz einfach "Eine Klammer wird zuerst berechnet". Um bei den ganzen Klammern, Punkt vor Strich usw. nicht durcheinander zu kommen, folgt hier noch einmal ein kurzer Leitfaden:<br><p>1. Wenn eine Klammer in der Aufgabe vorhanden ist, wird diese zuerst berechnet</p><p>2. Danach werden Multiplikation und Division ausgeführt</p><p>3. Als letztes folgen Addition und Subtraktion</p><br><p>Der Leitfaden von oben sollte gemerkt werden, um dann die folgenden Beispiele zu verstehen:</p><br><p>Aufgabe: (2 + 3) · 5 = ?</p><p>Lösung: (2 + 3) · 5 = 5 · 5 = 25</p><br><p>Aufgabe: 8 · (3 + 4) = ?</p><p>Lösung: 8 · (3 + 4) = 8 · 7 = 56</p><br><p>Aufgabe: 2 · (1 + 2) + 5 = ?</p><p>Lösung: 2 · (1 + 2) + 5 = 2 · 3 + 5 = 6 + 5 = 11</p><br><p>Aufgabe: 3 · (8 + 2) : 10 + 1 = ?</p><p>Lösung: 3 · (8 + 2) : 10 + 1 = 3 · 10 : 10 + 1 = 30 : 10 + 1 = 3 + 1 = 4</p><br><p><strong>Erklärungen: </strong></p><p>Gerade die beiden letzten Aufgaben könnten abschreckend wirken. Es wird jedoch mit den ersten beiden Aufgaben begonnen: In beiden Fällen wurde zunächst die Klammer berechnet. Das Ergebnis wurde dann mit der dahinter oder davor stehenden Zahl multipliziert. Bei der dritten Aufgabe wurde zuerst die Klammer berechnet, dann die Multiplikation und schließlich die Addition ausgeführt.</p><br><p>Kommen wir zur letzten Aufgabe: Auch hier wurde zunächst die Klammer berechnet. Mit dem Ergebnis der Klammer konnte dann entweder als erstes multipliziert oder dividiert werden, das ist mathematisch gleichgültig. In meinem Rechenweg wurde zunächst multipliziert, dann dividiert, und schließlich addiert. Die Aufgabe sollte noch einmal Stück für Stück durchgegangen werden, um Klarheit zu erhalten.</p><br><p><strong>Priorität bei Klammern / mehrere Klammern</strong></p><p>Eine kleine Schwierigkeit muss zu guter Letzt noch angesprochen werden: Was passiert bei mehreren Klammern und verschachtelten Klammern? Dazu folgen zunächst zwei kleine Beispiele samt Lösungen, danach die Erklärung.</p><br><p>Aufgabe: (5 + 3) + (1 + 2) = ?</p><p>Lösung: (5 + 3) + (1 + 2) = 8 + 3 = 11</p><br><p>Aufgabe: ((3 + 4) + 2) + 1 = ?</p><p>Lösung: [( 3 + 4 ) + 2 ] + 1 = (7 + 2) + 1 = 10</p><br><p><strong>Erklärung: </strong></p><p>Im ersten Beispiel gibt es zwei Klammern. Welche davon zuerst berechnet wird, ist vollkommen egal. Beide Klammern werden einzeln ausgerechnet und die Ergebnisse anschließend addiert. Kommen wir zum zweiten Beispiel: Hier gibt es zwei ineinander verschachtelte Klammern. Die Rechenregel dabei lautet ganz einfach: Immer zuerst die innere Klammer berechnen.</p><br><p>Zur besseren Übersicht bei verschachtelten Klammern sehen diese meist etwas unterschiedlich aus: Die innere Klammer wird üblicherweise mit "(" und ")" gekennzeichnet, während die äußere Klammer mit "[" und "]" versehen wird. Natürlich gilt wie immer: Um die Rechenregeln wirklich zu beherrschen, sollten die Übungsaufgaben bearbeitet werden.</p></p>
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\begin{array}{rrrr}
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& 8 & 4 & 0 & : & 4 & = & 2&1&0 \\
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\hline
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@@ -9,4 +9,4 @@
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- & & & 0 & \\ % Letzte Subtraktion
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& & & 0 & % Endergebnis null
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\end{array}
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$$</span> </p><br><p> 1. Die vorderste Stelle des Dividenden wird genommen, das heißt, die 8. Nun wird geprüft, wie oft der Divisor - also die 4 - in die 8 passt. Dies passt 2 Mal. Daher wird die 2 in das Ergebnis (auch Quotient genannt) geschrieben. </p><br><p> 2. Im nächsten Schritt wird zurückmultipliziert. Die 2 aus dem Ergebnis wird mit dem Divisor multipliziert: 2 · 4 = 8. Diese 8 wird vorne unter die andere 8 notiert. </p><br><p> 3. Im dritten Rechenschritt wird eine Subtraktion durchgeführt. Es wird 8 - 8 = 0 gerechnet, und diese 0 wird unter dem Strich notiert. </p><br><p> 4. Als nächstes wird die nächste Stelle der Zahl heruntergezogen. In diesem Beispiel ist dies die 4. </p><br><p> 5. Die zuvor durchgeführten Rechenschritte beginnen nun von vorne. Wie oft passt der Divisor (4) in die 04? Dies passt genau 1 Mal, weshalb eine 1 in das Ergebnis geschrieben wird. </p><br><p> 6. Erneut wird multipliziert. Die neue 1 aus dem Ergebnis wird mit dem Divisor (4) multipliziert, und man erhält 1 · 4 = 4. Diese 4 wird unter die 04 notiert. Es ist darauf zu achten, dass die letzte Stelle jeweils untereinander steht. </p><br><p> 7. Als nächstes wird subtrahiert: 04 - 4 = 0. Anschließend wird die letzte Stelle der Zahl 840 nach unten gezogen, das heißt, die 0. </p><br><p> 8. Wie oft passt die 0 in die 0? Dies passt 0 Mal. Alternativ lässt sich sagen: 0 : 4 = 0. Diese 0 wird ebenfalls in das Ergebnis geschrieben. </p><br><p> 9. Nun wird wieder zurückmultipliziert: 0 · 4 = 0. Bei der Subtraktion bleibt nichts übrig, und es gibt keine weiteren Stellen mehr. </p><br><p> 10. Das Endergebnis lautet somit: 840 : 4 = 210. </p><br>
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$$</span></p><br><p>1. Die vorderste Stelle des Dividenden wird genommen, das heißt, die 8. Nun wird geprüft, wie oft der Divisor - also die 4 - in die 8 passt. Dies passt 2 Mal. Daher wird die 2 in das Ergebnis (auch Quotient genannt) geschrieben.</p><br><p>2. Im nächsten Schritt wird zurückmultipliziert. Die 2 aus dem Ergebnis wird mit dem Divisor multipliziert: 2 · 4 = 8. Diese 8 wird vorne unter die andere 8 notiert.</p><br><p>3. Im dritten Rechenschritt wird eine Subtraktion durchgeführt. Es wird 8 - 8 = 0 gerechnet, und diese 0 wird unter dem Strich notiert.</p><br><p>4. Als nächstes wird die nächste Stelle der Zahl heruntergezogen. In diesem Beispiel ist dies die 4.</p><br><p>5. Die zuvor durchgeführten Rechenschritte beginnen nun von vorne. Wie oft passt der Divisor (4) in die 04? Dies passt genau 1 Mal, weshalb eine 1 in das Ergebnis geschrieben wird.</p><br><p>6. Erneut wird multipliziert. Die neue 1 aus dem Ergebnis wird mit dem Divisor (4) multipliziert, und man erhält 1 · 4 = 4. Diese 4 wird unter die 04 notiert. Es ist darauf zu achten, dass die letzte Stelle jeweils untereinander steht.</p><br><p>7. Als nächstes wird subtrahiert: 04 - 4 = 0. Anschließend wird die letzte Stelle der Zahl 840 nach unten gezogen, das heißt, die 0.</p><br><p>8. Wie oft passt die 0 in die 0? Dies passt 0 Mal. Alternativ lässt sich sagen: 0 : 4 = 0. Diese 0 wird ebenfalls in das Ergebnis geschrieben.</p><br><p>9. Nun wird wieder zurückmultipliziert: 0 · 4 = 0. Bei der Subtraktion bleibt nichts übrig, und es gibt keine weiteren Stellen mehr.</p><br><p>10. Das Endergebnis lautet somit: 840 : 4 = 210.</p></p>
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<p>Kommen wir nun zur schriftlichen Multiplikation: Das Ziel dieses Artikels ist es, Multiplikationsaufgaben wie zum Beispiel 12 · 30 zu lösen. Die Aufgabe wird hier zunächst vorgerechnet – gefolgt von einem zweiten Beispiel – und die Vorgehensweise wird anschließend unterhalb der Rechnung erläutert. </p><br><p> <span>$$
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<p><p>Kommen wir nun zur schriftlichen Multiplikation: Das Ziel dieses Artikels ist es, Multiplikationsaufgaben wie zum Beispiel 12 · 30 zu lösen. Die Aufgabe wird hier zunächst vorgerechnet – gefolgt von einem zweiten Beispiel – und die Vorgehensweise wird anschließend unterhalb der Rechnung erläutert.</p><br><p><span>$$
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\begin{array}{rrrr}
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& 1 & 2 & \times & 3 & 2 & \\ \hline % mal 32
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& & & 3 & 6 \\ % 12 * 2 = 36
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+ &&&& 2 & 4 \\ \hline % 12 * 3 mit Zehnerstelle = 240
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&&& 3 & 8 & 4 % Ergebnis
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\end{array}
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$$</span> </p><br><p> So wird es gemacht. </p><br><p> 1. Die beiden Zahlen werden nebeneinander geschrieben und das Multiplikationszeichen dazwischen gesetzt. Darunter wird ein Strich gezogen. </p><p> 2. Danach wird die erste Zahl mit der ersten Stelle des zweiten Faktors multipliziert. Auf gut Deutsch: 12 · 3 = 36. Die 36 wird unter der 3 notiert. </p><p> 3. Dasselbe wird für die zweite Stelle durchgeführt: 12 · 2 = 24. Diese Zahl wird unter der 2 geschrieben.</p><p> 4. Anschließend wird schriftlich addiert. Stelle für Stelle wird von rechts nach links addiert: 4 + 0 = 4; 6 + 2 = 8; 3 + 0 = 3.</p><p> Das Ergebnis ist somit 12 · 32 = 384.</p><p> </p><p> </p><p> Ein weiteres Beispiel </p><p> <span>$$
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$$</span></p><br><p>So wird es gemacht.</p><br><p>1. Die beiden Zahlen werden nebeneinander geschrieben und das Multiplikationszeichen dazwischen gesetzt. Darunter wird ein Strich gezogen.</p><p>2. Danach wird die erste Zahl mit der ersten Stelle des zweiten Faktors multipliziert. Auf gut Deutsch: 12 · 3 = 36. Die 36 wird unter der 3 notiert.</p><p>3. Dasselbe wird für die zweite Stelle durchgeführt: 12 · 2 = 24. Diese Zahl wird unter der 2 geschrieben.</p><p>4. Anschließend wird schriftlich addiert. Stelle für Stelle wird von rechts nach links addiert: 4 + 0 = 4; 6 + 2 = 8; 3 + 0 = 3.</p><p>Das Ergebnis ist somit 12 · 32 = 384.</p><br><br><p>Ein weiteres Beispiel</p><p><span>$$
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\begin{array}{rrrrr}
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2 & 8 & 4 & 6 & 8 & \times & 1 & 6 \\ \hline % mal 16
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&& \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{8} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{6} & \textcolor{red}{8} \\ % 28468 * 6 (Einerstelle)
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+ && \textcolor{green}{1} & \textcolor{green}{7} & \textcolor{green}{0} & \textcolor{green}{8} & \textcolor{green}{0} & \textcolor{green}{8} \\ \hline % 28468 * 10 (Zehnerstelle)
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&& 4 & 5 & 5 & 4 & 8 & 8 % Ergebnis
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\end{array}
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$$</span> </p><p> 1. Es wird 28468 · 1 mit der bekannten Rechenweise aus den vorherigen Beispielen berechnet, und das Ergebnis wird so notiert, dass die letzte Stelle unter der 1 steht. </p><p> 2. Es wird 28468 · 6 ebenfalls mit der bekannten Rechenweise berechnet, und das Ergebnis wird so eingetragen, dass die letzte Stelle unter der 6 steht. </p><p> 3. Es wird eine schriftliche Addition durchgeführt (0 + 8 = 8, 8 + 0 = 8 usw.). Die übereinander stehenden Stellen werden jeweils addiert. </p><br>
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$$</span></p><p>1. Es wird 28468 · 1 mit der bekannten Rechenweise aus den vorherigen Beispielen berechnet, und das Ergebnis wird so notiert, dass die letzte Stelle unter der 1 steht.</p><p>2. Es wird 28468 · 6 ebenfalls mit der bekannten Rechenweise berechnet, und das Ergebnis wird so eingetragen, dass die letzte Stelle unter der 6 steht.</p><p>3. Es wird eine schriftliche Addition durchgeführt (0 + 8 = 8, 8 + 0 = 8 usw.). Die übereinander stehenden Stellen werden jeweils addiert.</p></p>
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